Введение
Метод Гаусса — классический метод решения СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.
Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики.
Предметом исследования является метод Гаусса, а объектом – математика.
Теоретической базой данной работы послужили публикации различных авторов, периодическая литература, информационные ресурсы Internet по вопросам изучения решений матриц методом Гаусса.
Методология исследования. Общеметодологическую базу данного исследования составляет диалектический метод, требующий рассмотрения предмета в его непрерывном развитии, изменении и связях с другими явлениями.
Основные определения и обозначения
Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными ( m может быть равно n): где - неизвестные переменные,
Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае –несовместной.
Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.
Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид
Эта система в матричной форме записи имеет вид , где
- основная матрица СЛАУ, матрица столбец неизвестных переменных, матрица свободных членов.
Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.
Следует оговорить следующий момент.
Если с системой линейных алгебраических уравнений
произвести следующие действия:
- поменять местами два уравнения,
- умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,
- к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,
то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).
Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:
- перестановку двух строк местами,
- умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,
- прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.
- Алгоритм и примеры решения методом Гаусса систем линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 1. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на (в нашем случае на -3), к третьей – первую строку, умноженную на (в нашем случае на -2). Это возможно, так как .
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменную x:
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим матрицу :
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на (в нашем случае на -4).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем примере.
Решение найдём "с конца" - это называется "обратный ход метода Гаусса". Для этого из последнего уравнения определим z:
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:
Из первого уравнения найдём x:
Итак, решение данной системы .
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке - первую, умноженную на -3, к четвёртой - первую, умноженную на -2.
Теперь с помощью второго уравнения исключим переменную из последующих уравнений. И с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения.
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». И таким образом, данная система уравнений имеет единственное решение
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 4. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, и составляем расширенную матрицу системы: . Применяем прямой ход метода Гаусса. Получим расширенную матрицу трапециевидной формы .
Теперь применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Получаем z=43, y=35, x=72.
Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше числа уравнений
Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.
Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную x. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке - первую, умноженную на -3, к четвёртой - первую, умноженную на -1. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на -1.
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную y из последующих уравнений. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на -8, а к четвёртой - вторую, умноженную на -7.
Четвёртая и третья строки - одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на . Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
z и y известны, а x находим из первого уравнения: x = 1.
Итак, данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).
Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений
Следующий пример - система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2.
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для и выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для находится однозначно: . Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы , при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Заключение
О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.
Достоинства метода:
- менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
- позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
- позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.
Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
- нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса–Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );
- определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера–Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
- численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).
Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.
Список использованных источников
- Баврин, И.И. Высшая математика для химиков, биологов и медиков: Учебник и практикум для прикладного бакалавриата / И.И. Баврин. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 329 c.
- Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебник для академического бакалавриата / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 281 c.
- Дорофеева, А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений. Сборник задач: учебно-практическое пособие / А.В. Дорофеева. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 175 c.
- Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. - М.: Ленанд, 2019. - 512 c.
- Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник / Н.Ш. Кремер и др. - М.: Юнити, 2017. - 448 c.
- Лурье, И.Г. Высшая математика. Практикум: Учебное пособие / И.Г. Лурье, Т.П. Фунтикова. - М.: Вузовский учебник, 2018. - 256 c.
- Седых, И.Ю. Высшая математика для гуманитарных направлений: Учебник и практикум для академического бакалавриата / И.Ю. Седых, Ю.Б. Гребенщиков, А.Ю. Шевелев. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 443 c.