Числа. Развитие понятия числа

Введение

Актуальность исследования заключается в том, что число — важнейшее математическое понятие, возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется её потребностями.

Предметом исследования является число, а объектом – математика.

Целью исследования является изучить особенности развития и функционирования чисел, это достигается путем решения следующих задач:

• изучить понятие о числе и его происхождение;
• выявить особенности развития понятия числа в разных странах;
• проанализировать особенности развития понятия числа в школьном курсе математики.

В данном исследовании используются следующие методы: изучение и анализ научной литературы по вопросу развития чисел, сравнение различных точек зрения и их анализ.

В ходе написания реферативной работы автор изучил фундаментальные научные исследования отечественных и зарубежных ученых по обозначенной теме.

Понятие о числе и его происхождение

Первые представление о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей, животных, различных изделий человека и других предметов. Результатом счета являются числа один, два, три, четыре и т. д. Такие числа называются теперь натуральными. В арифметике их называют также целыми числами.

Арифметика – это наука о числах. Название «арифметика» происходило от греческого слова «аритмос», что означает «число». В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и правила вычислений. Более глубокие свойства чисел изучаются в теории чисел.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отсчитали друг от друга совокупности двух и трех предметов, всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась, возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого люди пользовались окружавшими его предметами. Очень важный роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был налицо и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден, жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах [2, c.57].

Естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 – по количеству пальцев на руках, у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 – по количеству пальцев на руках и на ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких первых десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка», выражение «сорок сороков» означало в страницу число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой смысл оно имеет. Такой же смысл потом приобретают последовательно числа тысяча, десять тысяч, миллион.

При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, делить ее на доли не нужно, а часто и нельзя. Однако делит единицу на доли приходится уже при грубых измерениях величин. Поэтому уже в отдаленный эпохи создалось понятие дробного числа. В дальнейшем оказалось необходимым еще более расширить понятие числа, последовательно появились числа иррациональные, отрицательные и комплексные.

Довольно поздно к семье чисел присоединился нуль. Первоначально слово «нуль» означало отсутствие числа. Действительно, если, например, от 3 отнять 3, то не остается ничего. Для того чтобы это «ничего» считать числом, появились основания лишь в связи с рассмотрением отрицательных чисел.

Цифра – это письменный знак, изображающий число. В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками: одна палочка изображала единицу, две палочки – двойку и так далее. Этот способ записи происходит от зарубок. Он и поныне сохранился в «римский цифрах» для изображения чисел 1, 2, 3 [8, c.97].

Для изображения сколько – нибудь больших чисел этот способ был непригоден. Поэтому появились особые знаки для числа 10, а у некоторых народов и для числа 5. Позднее были созданы знаки для больших чисел.знаки эти у разных народов имели разную форму и с течением времени видоизменялись. Различны были и системы нумерации, то есть способы соединения цифр для изображения больших чисел. Однако в большинстве систем нумерации основное значение имеет десятичная основа, в соответствии с преобладанием десятичной системы счисления.

Развитие понятия числа в разных странах

Рассвет математики связан с Европейской культурой, да и в целом с Европой. Всем известны Европейские учёные математики, которые оставили свой след в истории математики.

Но как дошла математика до Европейского континента? - вот вопрос на который хочется найти ответ.

Как всем известно, самой древней математической деятельностью является счёт. Считать было необходимо, для того чтобы следить за поголовьем скота, и чтобы торговля была правильной. Первоначально, древние племена использовали засечки на камнях и скалах, части тела (пальцы рук и ног).

Слово «математика» - происходит от греческого – «mathema», обозначающее такие понятия, как – знание, наука и учение.

Развитие математики начинается с применения простых практических искусств счёта, линий, поверхностей и объёмов. Можно разделить принципы нумерации чисел и наименование на несколько групп:

• Аддитивный – один+на+дцать, ХХХ=30.
• Субтрактивный – IX, девя-но-сто.
• Мультипликативный – пять*десять, три*ста.

Существуют и более изощрённые идеи использования счёта. Вавилоняне более 400000 лет назад использовали для своих целей и научных расчётах шестидесятеричную систему счисления [6, c.33].

Существуют примеры использования двоичного метода систем счисления древними туземцами, жившими на островах Торресова пролива. Единица у них обозначалась как слово – «Урапун», а двойка как – «Окоза»: Объединение двух слов (Урапун+Окоза) даёт возможность использовать число – 3. Естественно (Окоза+ Окоза) = 4, (Окоза+ Окоза+ Урапун) = 5, (Окоза+ Окоза+ Окоза) = 6 и так далее.

Следующая ступень развития математического счёта – это появление натуральных чисел и операции с ними. Натуральное число – это множество однородных предметов (вещи, животные, овощи, фрукты и т.д.) и идеализация их устойчивости и неделимости. В дальнейшем появление операции сложения и вычитания с натуральными числами.

Параллельно с появлением натуральных чисел, абстрагировались геометрические – плоские и пространственные формы. Тогда, в древности геометрические формы сопоставлялись с реальными предметами и создавались имена для таких форм: например, в древней Греции «ромбос» - обозначалась как волчок, «трапедсион» - как столик (трапеция), а «сфера» - как круглые формы (мяч) [2, с. 59].

Откуда именно появились первые математические надписи, до сих пор точно не известно. Но что бесспорно, так это то, что развитие математики началось далеко в прошлом, примерно 2 или 3 тысяча лет до нашей эры, благодаря вавилонянам и египтянам.

В древнем Египте математика использовалась в мореплавании, землемерии, астрономии, при строительстве каналов, домов и платин. Денег и денежных расчётов в древнем Египте не было, и они не использовали математику для таких целей. Они использовали папирус для записи расчётов, поэтому подробных записей о математике древнего Египта очень мало, по сравнении математики Вавилона.

Основные записи, относящиеся к древнему Египту – это папирус Ринда или подругому папирус Ахмеса, в котором приведены 84 математических записей. Задачи, приведённые в папирусе Ахмеса, которому около 1650 лет до нашей эры, имеют прикладной характер и связаны со строительством, земельными наделами, нахождение площадей треугольника, четырёхугольника и круга, действия с целыми числами, дробями, возведение в степени, определение среднего арифметического, решения уравнений и т.п. [2, с. 58]. Особенность всех задач – это отсутствие каких бы то ни было объяснений и доказательств.

В области геометрии древние египтяне для определения площадей прямоугольника, треугольника и трапеции использовали точные формулы, о чём говорят возведения пирамид и необычных сооружений. Площадь четырёхугольника или прямоугольника со сторонами a, b, c и d вычислялась как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 - Площадь четырёхугольника или прямоугольника со сторонами a, b, c и d у древних египтян

Эта формула использовалась, если фигура была близка к прямоугольнику. Вавилонские записи (клинописные значки) которые написаны на глиняных табличках, дошли до наших дней в немалом количестве и дают представление о достижениях Вавилонских учёных в области математики.

Вавилонская математика и расчётные счета были намного совершенней чем в древнем Египте. Существуют задачи для решения уравнений второй степени или геометрические прогрессии. Методы работы с пропорциями и прогрессиями, процентные расчёты были глубже, нежели в древнем Египте. Имея богатую теоретическую математическую основу Вавилонские математики не имели доказательной базы, как и в древнем Египте. Систематический доказательный математический подход появился только в эпоху древних греков.

Как всем известно письменность Китая состоит из иероглифов, которые появились в древнем Китае примерно 2 тысяча лет до нашей эры, эти иероглифы применяются и по сей день в современном Китае. Китайский метод записи чисел изначально был мультипликативным (пять*десять, три*ста и т.д.). Однако на практике древнекитайские расчёты проводились на счётной дощечке, где запись расчётных чисел был позиционным, как в Индии и десятичной, в отличии от записей вавилонян [2, с. 58].

В древнем Китае число ноль обозначалась пустым местом, только в 12 веке нашей эры в китайских письменах для числа ноль отводится специальный иероглиф. Отсюда можно сделать некоторые первые выводы, о появлении и использовании числа ноль, о том, что число ноль появилось позже других математических натуральных чисел.

Математика как наука, в современном понимании родилась в древней Греции и как известно, слово «математика» - происходит от греческого – «mathema», обозначающее такие понятия, как – знание, наука и учение.

В древней Греции, изначально математика использовалась для обыденных и повседневных нужд: измерения и подсчёты, либо наоборот, для ритуалов, цель которых была выявление воли греческих богов: астрология и нумерология, теоретической базы математики не было.

Греки подошли к развитию математики с особой стороны:

Во-первых, школа Пифагорцев первыми выдвинула тезис:

«Числа правят миром», который спустя 2000 лет Галилей сформулировал как:

«Природа разговаривает с нами на языке математики».

Во-вторых, для таких истин пифагорцы разработали методологию, составили список математических истин, аксиомы и постулаты. В дальнейшем, при помощи рассуждений из составленных истин выводились новые утверждения, так появилась дедуктивная математика. Везде отмечались успехи, математическая модель преобладала неоспоримой силой.

Попытка пифагорцев положить в основу мировой гармонии целые числа была поставлена под сомнение после обнаружения платоновской школой (6 век до нашей эры) – иррациональных чисел. В этом направлении были достигнуты величайшие открытия древнегреческих учёных, таких как Архимед, Евклид, Апполоний и другие.

Многие учёные современного мира отмечали, что свои открытия и их мотивы почерпнули у древних Греков: математический анализ – у Архимеда, аналитическая геометрия – у Аппалония и т.д.

Главные достижения древних Греков:

Первое – древняя Греция построила математику как науку, с собственной методологией и законами логики.

Второе – провозглашена, что законы природы постижимы человечеству, а математическая модель – это ключ к их познанию.

Индия оставила свой отпечаток на математическую науку происхождением современных цифр, примерно первый век нашей эры. Примерно 500 года нашей эры, в Индии была изобретена новая система записи чисел – десятичная позиционная система счисления.

Рисунок 2 - Цифры в древней Индии

С помощью новой системы выполнение арифметических действий оказалось намного проще, чем в древней Греции и Вавилоне. Индийцами разработаны алгоритмы арифметических операций, а также квадратные и кубические корни.

Математика – благодаря известным индийским учёным, Ариабхате (5-6 век) и Брахмагупте, продвинулась на новый этап и начиная с помощью их работ свободно обращалась с отрицательными числами, трактуя их как долг.

Новый этап развития математики связана с исламскими учёными. Основные области применения математики – это торговля, география, астрология, механика, строительство и оптика. Примерно в 9 веке среднеазиатский математик – Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муса ал Хорезми, известный миру как аль-Хорезми – изучив индийские и греческие знания написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации десятичной позиционной системы счисления во всём мире. В 12 веке данная книга переводится на латинский язык и от имени автора книги происходит слово «алгоритм». Другое понятие - «алгебра» произошло от другой книги аль-Хорезми – «Краткая книга об исчислении альджабра и аль-мукабалы» и оказало большое влияние на европейскую математическую науку.

В области астрономии, геометрии и тригонометрии исламскими учёными математиками Насир ад-Дин ат-Туси и аль-Коши были опубликованы выдающиеся работы.

В целом можно сделать вывод, что среднеазиатским и исламским математикам удалось поднять индийские математические разработки на следующий высокий уровень и расширить их мощь, вплоть до популяризации математики в западной Европе.

Армяне и грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000,8000, 9000. Числовые значения букв следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Алфавитная нумерация преобладала до 18 века, хотя «арабская нумерация» употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше. В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. в Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.

Южные и славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же роль цифр играли не все буквы, а только те которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок.

При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите. В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация» которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах [1, c.83].

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерции». Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для наименования съездов и конференций, для нумерации некоторых страниц книги, глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. [1, c.85].

Для удобства чтения и запоминания больших чисел цифры их разбивают на так называемые «классы»» справа отделяют три цифры, затем еще три и так далее. Последний класс может иметь три, две или одну цифру. Между классами обычно оставляется небольшой пробел. Например, число 45762812 записывают так: 45 762 812. Здесь 812 – первый класс, 762 – второй, 45 – третий.

Каждая из цифр класса называется его разрядом, счет разрядов также идет справа. Например, в первом классе 812 цифра 2 составляет первый разряд, 1 – второй, 8 – третий. В последнем классе может быть три, два разряда или один.

Первый класс дает число единиц, второй – тысяч, третий – миллионов, сообразно с этим число 45 762 812 читается: сорок пять миллионов семьсот шестьдесят два тысяча восемьсот двенадцать. Поэтому говорят, что единица второго класса есть тысяча, единица третьего класса – миллион.

Единица четвертого класса называется миллиардом, или, иначе, биллионом.

Единица пятого класса называется триллионом.

Единицы шестого, седьмого, восьмого и т. д. классов называются квадриллионом, квинтиллионом, секстиллионом, септиллионом и т. д.

Развитие понятия числа в школьном курсе математики

Понятие числа является одним из фундаментальных понятий школьного курса математики. Оно активно используется при изучении теоретических основ и прикладных методов в школьном курсе информатики. В современной методике обучения математике накоплен большой опыт изучения числа, разработаны различные соответствующие подходы и методы. Перед учителем стоит вопрос, как из большого калейдоскопа идей, обоснований и трактовок понятия числа в курсе математики сложить единую картину.

Рисунок 3 - Виды чисел в математике

В современном школьном курсе математики (арифметика, алгебра и начала анализа) выделяют следующие содержательные линии:

• числовая (натуральные, рациональные и действительные числа, степень с действительным показателем, логарифмы чисел, тригонометрические числовые выражения);
• функциональная (прямая и обратная пропорциональность, квадратичная, показательная логарифмическая, степенная и тригонометрические функции, исследование функции с помощью производной, преобразования функций);
• преобразования (выражений целых, рациональных, содержащих степени, логарифмы, тригонометрические функции);
• уравнения и неравенства (линейные и квадратные, рациональные, показательные, логарифмические, иррациональные, тригонометрические уравнения и неравенства);
• стохастическая (элементы комбинаторики, вероятности, статистики).

Развитие указанных линий в процессе обучения тесно взаимосвязано. Числовая линия и линия преобразований развиваются с некоторым опережением по времени по отношению к другим. Формирование понятия числа, умений выполнять действия над числами являются основополагающими при изучении функций уравнений и неравенств и анализе данных. В школьном курсе математики изучаются только числовые функции, уравнения и неравенства решают на множестве заданных чисел, а анализ данных проводят с учетом природы самих данных.

Изучение чисел и действий над ними проходит через весь курс математики с первого по одиннадцатый класс. Поэтому, на наш взгляд, линию числа мы заслуженно указали первой. Изучение понятия числа начинается с натуральных чисел (1-4 класс), затем переходят к дробным и отрицательным числам, рассматривают множество рациональных (5-6 класс) и действительных чисел (7-9 класс). Комплексные числа изучают в классах с углубленным или профильным обучением математике (9-11 класс).

Натуральные числа и нуль изучают в курсе математики начальной школы. Понятие натурального числа и нуля вводится на наглядно интуитивном уровне. Натуральное число рассматривается как неизменное свойство равных множеств. На основе большого числа примеров, иллюстраций и предметных множеств показывают, что число это определенная характеристика или свойство равномощных множеств. Используется так же подход к понятию числа как результата измерения величины: результат измерения отрезка выбранной единицей измерения (мерой).

В начальной школе осуществляют пропедевтику изучения дробных чисел. Учащихся знакомят с понятием доли и учат выполнять простейшие действия с долями.

В курсе математики 5-6 класса обобщается и систематизируется понятие натурального числа, вводятся дробные числа и отрицательные числа.

В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о натуральном числе, полученных в начальной школе: чтение и запись больших многозначных чисел, сравнение и округление их, изображение чисел на координатной прямой, алгоритмы письменных вычислений [4, c.233].

Учащиеся знакомятся со свойством натурального ряда чисел: каждому натуральному числу может быть поставлена в соответствие единственная точка числовой прямой. Обратное положение не верно, т.е. не каждой точке числовой прямой может быть поставлено в соответствие натуральной число. В дальнейшем при расширении понятия числа это положение покажет необходимость введения новых чисел. Изучение такого свойства натуральных чисел как бесконечность способствует формированию мировоззрения учащихся.

При изучении законов арифметических действий рассматривают их запись с использованием буквенной символики и выполнением действий с нулем и единицей. В 5 классе вводят новое понятие степень числа – это первое знакомство со степенями. Изучение свойств арифметических действий должно продемонстрировать возможность их применения для преобразования числовых выражений. Новым на этом этапе является введение обобщенных свойств, которые сформулированы в виде правил преобразования суммы и произведения.

В содержание темы «Делимость чисел» традиционно входят вопросы: делители и кратные, простые и составные числа, делимость суммы и произведения, признаки делимости, деление с остатком. Изучение разложения числа на множители, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного позволяет в дальнейшем облегчить работу по преобразованию обыкновенных дробей.

Далее в 5 и 6 классе изучают обыкновенные и десятичные дроби. Исторически появление дробных чисел предшествовало появлению отрицательных. В практической жизни и деятельности учащиеся значительно раньше встречаются с дробными числами, чем с отрицательными. Этот факт учитывается при разработке программ и планов изучения чисел в 5-6 классах.

Известны следующие варианты последовательности изучения дробных чисел:

1) сначала изучают обыкновенные дроби, а затем десятичные;

2) сначала изучают десятичные дроби, а затем обыкновенные;

3) знакомятся с понятием дроби, изучают десятичные дроби, а затем обыкновенные.

В настоящее время в школьных в различных программах реализованы все указанные варианты.

Одной из важнейших тем курса математики 6 класса являются приближенные вычисления. На основе правил округления натуральных чисел рассматриваются правила округления рациональных чисел. Вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности и правила выполнения арифметических действий с приближенными числами.

В курсе алгебры 7-9 классов продолжается изучение понятия числа. В содержание обучения включены следующие вопросы: алгебраические выражения над множеством рациональных чисел; степень с целым показателем, квадратный корень, обобщение представлений о рациональных числах, иррациональные числа, множество действительных чисел, арифметические операции над действительными числами и их свойства, изучение алгебраических выражений проводится с использованием понятия числа и действий над числами.

Степень числа – это арифметическое действие третьей ступени. Изучение понятий уравнения и неравенства, а так же правил, применяемых при их решении, ведется на основе повторения числовых равенств и неравенств, а также их свойств.

В курсе алгебры существенную роль играет построение системы действительных чисел, в которой важное место отводится приближенным вычислениям. Изучение начинается с введения понятия иррационального числа.

В курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах расширяются знания и умения учащихся по линии числа. Вводятся понятия степени с рациональным и действительным показателем, логарифма числа, синуса, косинуса, тангенса и котангенса. При упрощении значений выражений и вычислении значений функции развиваются умения учащихся выполнять приближенные вычисления.

Изучение комплексных чисел является завершающим этапом расширения понятия числа в школьном курсе математики. До недавнего времени эта тема давалась только в классах с углубленным изучением математики. В ряде современных учебников комплексные числа входят если не в основной, то хотя бы в дополнительный материал для изучения [3, c.8].

Заключение

Число является одним из основных понятий математики, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку - число от этого не изменится.

К настоящему времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

Таким образом, было выявлено, что методика преподавания понятия числа имеет большую историю, за которую сформировались различные подходы, как к введению чисел, так и к последовательности изучения отдельных вопросов числовой содержательно-методической линии.

Список использованных источников

1. Алимухамедов, М. Р. Математические числа и понятия// Вестник Бохтарского государственного университета имени Носира Хусрава. Серия естественных наук. – 2018. – № 2-2(54). – С. 82-85. – EDN ZZZZQY.
2. Гузенко, С. В. Процесс формирования понятия "число"// Психология и соционика межличностных отношений. – 2018. – № 5(149). – С. 57-59. – EDN WICJET.
3. Гылыджова, Д. А. Понятие о числе и его происхождение// Наука, образование и инновации : сборник статей международной научно-практической конференции, Уфа, 28 октября 2018 года. – Уфа: Общество с ограниченной ответственностью "ОМЕГА САЙНС", 2018. – С. 6-8. – EDN WXAQKD.
4. Лурье, И.Г. Высшая математика. Практикум: Учебное пособие / И.Г. Лурье, Т.П. Фунтикова. - М.: Вузовский учебник, 2018. - 256 c.
5. Макаридина, В. А. О понятии числа// Фундаментальные проблемы социально-экономического развития общества: история и современность : материалы международной научно-практической конференции, Кингисепп, 10 апреля 2015 года / Кингисеппский филиал Ленинградского государственного университета (ЛГУ) им. А.С. Пушкина. – Кингисепп: Ленинградский государственный университет им. А.С. Пушкина, 2015. – С. 232-234. – EDN XCYHFD.
6. Морозова, Л. И. Формирование понятия о числе// Новые технологии в образовании: Материалы XXVII Международной научно-практической конференции, Минеральные Воды, 26–27 ноября 2017 года / Научный редактор Г.Ф. Гребенщиков. – Минеральные Воды: Издательство "Перо", 2017. – С. 46-50. – EDN YOXVZS.
7. Пантелеймонова, А. В. Развитие понятия числа в школьном курсе математики// Continuum. Математика. Информатика. Образование. – 2019. – № 4(16). – С. 31-37. – EDN XDLNJP.
8. Плотников, С. Н. Число. Определение понятия "число"// Рождественские чтения : Материалы ХXI Межрегиональной научно-методической конференции по вопросам применения ИКТ в образовании, Пермь, 20 января 2018 года / Ответственные за выпуск Ю.А. Аляев, С.В. Русаков. – Пермь: Пермский государственный национальный исследовательский университет, 2018. – С. 79-80. – EDN XQTLLV.
9. Шипачев, В.С. Высшая математика: Уч. / В.С. Шипачев. - М.: Инфра-М, 2018. - 304 c.
10. Чжан, Л. Значение понятия "число" в китайском и русском языках// Экология языка и речи : Материалы VIII Международной научной конференции, Тамбов, 21–23 ноября 2019 года / Отв. за выпуск Т.В. Махрачёва. – Тамбов: Издательский дом "Державинский", 2019. – С. 96-101. – EDN LDCSXJ.