Правильные многогранники: их свойства и применение

Введение

Тема правильных многогранников актуальна в современном мире, так как каждый человек сталкивается с ними в течении всей своей жизни. Примеров масса, это и деревянные кубики, с помощью которых развиваются дети до 3-х лет, и математические знания, которые дают нам на уроках математики и геометрии, и шестиугольные соты, которые строят пчелы. Так же, правильные многогранники можно встретить в разных сферах нашей жизни: в культуре, искусстве, космосе, архитектуре и т.д. Мне интересно изучить эту тему глубже и провести исследование, потому что, знания, полученные с помощью этого проекта, помогут более четко понимать организацию окружающего меня мира.

Предметом проекта является школьный предмет – геометрия,

Объектом проекта являются правильные многогранники.

Целью проекта является изучить свойства и особенности применения правильных многогранников, это достигается путем решения следующих задач:

• изучить историю и понятие многогранников;
• выявить виды правильных многогранников и их свойства;
• определить и проанализировать связь геометрии и природы;
• изучить особенности применения многогранников.

Гипотеза: многогранники окружают нас повсюду, люди используют многогранники ежедневно в повседневной жизни. Понимая организацию многогранников, люди смогут лучше понимать организацию окружающего мира.

Теоретические методы исследования:

• изучение и анализ литературы по выбранной теме,
• сравнение различных точек зрения,
• синтез,
• индукция и дедукция.

Глава 1. История и понятие многогранников

Многогранники были в центре внимания многих людей с древних времен. Этот предмет занимает особое место среди, созданных человеком путем абстракции и идеализации: многогранники - гармоничны и загадочны... В данном параграфе рассмотрим вопрос о том, как относились к многогранникам на протяжении истории различные цивилизации и отдельные люди.

Многогранник — это трехмерная фигура, имеющая плоские грани, прямые ребра и острые вершины (углы). Слово «многогранник» происходит от греческого слова, где «поли» означает «много», а эдрон означает «поверхность». Таким образом, когда много плоских поверхностей соединяются вместе, они образуют многогранник. Эти формы имеют имена в соответствии с их гранями, которые обычно представляют собой многоугольники. Наиболее распространенными названиями являются кубы, шестигранники.

Многогранник – это трехмерное тело, состоящее из многоугольников. Он имеет плоские грани, прямые ребра и вершины. Например, куб, призма или пирамида являются многогранниками. Конусы, сферы и цилиндры не являются многогранниками, потому что их стороны не являются многоугольниками и имеют криволинейные поверхности. Множественное число многогранника также известно, как многогранник.

В Шотландии были найдены сотни резных каменных сфер диаметром примерно три дюйма, которые, как полагают, датируются примерно 2000 годом до нашей эры. На некоторых вырезаны линии, соответствующие ребра правильных многогранников. Примерно у половины есть 6 ручек, но остальные варьируются от 3 до 160 ручек. Более математически правильные из них, по-видимому, не имели особого значения. Например, в дополнение к додекаэдрической форме с 12 ручками, показанной в центре и справа от нее выше, есть также с 14 ручками, соответствующими форме с двумя противоположными шестиугольниками, каждый из которых окружен шестью пятиугольниками.

Тем не менее, додекаэдр появляется здесь задолго до того, как греки написали о нем. О функциях этих камней ничего неизвестно. Материал варьируется от легко вырезаемого песчаника и змеевика до сложного, твердого гранита и кварцита. Однако обратите внимание, что третий и четвертый камни представляют собой додекаэдр, а икосаэдрический вид четвертого камня - это уловка (рис. 1).

Также второй камень представляет собой не тетраэдр, а составной многогранник: тетраэдр вместе со своим двойником.

Рисунок 1 – Шотландские резные камни

Египтяне (2650 - 500 ГГ. ДО Н.Э.)

Египтяне, несомненно, проявляли большой интерес к многогранникам. Многие загадки построенных ими пирамид остаются необъяснимыми и в наше время.

О работах египтян сегодня известно не так много, но из имеющихся в руках папирусов известно, что они были очень опытны в вычислении объемов, площадей и наклонов двумерных фигур и пирамид.

Рис. 2 - Великая пирамида Хеопса

Вавилоняне (2000 - 500 ГГ. ДО Н.Э.)

Вавилоняне использовали схожие с египтянами описания для вычисления объемов твердых объектов. Для призм они умножали площадь основания на высоту. Однако формулы, которые они использовали для пирамид и усеченных пирамид, не все были верны. Например, они умножали высоту усеченной пирамиды на среднее значение площадей основания и вершины, чтобы найти объем. Как и египтяне, вавилоняне тоже использовали примеры вместо символических формул.

Китай

Китайцев также интересовали объемы многогранников, а именно призмы, пирамиды и усеченные пирамиды. Но они использовали общие формулы, в отличие от египтян и вавилонян. Хотя источники информации о работе древних китайцев над многогранниками не старше 2000 лет, предполагается, что истоки этих работ лежат в гораздо более древних временах.

Как и египтяне и вавилоняне, китайцы вплоть до третьего века нашей эры не обязательно доказывали правильность своей методологии. Первые систематические попытки доказательства аргументов среди китайских математиков можно увидеть в "Комментарии к Девяти главам" Лю Хуэя (263 г. н.э.). В своей работе Лю Хуэй объясняет, что "Девять глав" (написанные до третьего века до нашей эры) - это старый текст, содержащий 246 математических задач. Вклад Лю Хуэя в этот текст заключается в основном в доказательствах.

Греки

Есть много мыслителей, которые работали над многогранниками среди древних греков. Однако в данном документе основное внимание будет уделено работе Платона.

Ранние цивилизации разрабатывали математику в виде задач и их решений. Согласно Б. Л. Ван дер Ваерден отмечает так много сходства между исследованиями египтян, вавилонян, китайцев, а также индийцев, что считает, что работы этих разных цивилизаций происходят из общего источника. Он предполагает, что на все эти культуры повлияли исследования, проводившиеся в эпоху неолита, скажем, между 3000 и 2500 годами до нашей эры. Однако подход древних греков совершенно иной: доказательства являются неотъемлемой частью анализа.

Кромвель в своей книге "Полиэдры" упоминает вероятность того, что греческим математикам, которые любили много путешествовать, требовались доказательства, чтобы решить, являются ли методы вавилонян или египтян истинными.

Платон, когда речь идет о многогранниках, наиболее известен как автор комментариев к пяти правильным многогранникам, которые названы в его честь. Однако Платон не был первым, кто их распознал. Пифагорейцы уже знали три из них за их регулярность: куб, тетраэдр (они бы назвали его пирамидой) и додекаэдр. Теэтет, друг Платона, известен тем, что первым открыл регулярность икосаэдра и октаэдра. Следует подчеркнуть, что эти твердые тела уже были известны людям, но именно пифагорейцы и Теэтет открыли их закономерность. Вклад Платона в эту тему заключался не в открытии правильных многогранников, а в том, что он связал их с элементами, конструирующими мир.

Глава 2. Виды правильных многогранников и их свойства

Многогранник, грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками. Все длины сторон равны, и все углы равны. Например, этот додекаэдр (обратите внимание, что каждая грань представляет собой одинаковый правильный пятиугольник).

Существует пять выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновые тела. А еще есть четыре правильных «звездных многогранника», известных как тела Кеплера-Пуансо.

Древние греки считали, что физический мир состоит из четырех основных элементов и их комбинаций: огня, воздуха, воды и земли. Увлеченный различными прекрасными аспектами правильных многогранников, Платон представил себе мир, состоящий из них. С помощью собственных рассуждений он присвоил каждому из правильных многогранников свой основной элемент. Но после того, как четыре многогранника были отнесены к четырем основным элементам, остался один многогранник. Платон связал оставшийся многогранник, додекаэдр, со Вселенной и назвал пятый элемент: эфир.

Эта ассоциация играет большую роль в "Тимее" Платона, статье, которую он написал для своего друга Теэтета, умершего после тяжелых ранений в битве. Его тезисы были настолько гармоничными и плавными, что это видение космоса повлияло на многих философов, математиков и художников (рис. 3).

Идеальный мир Господа должен был быть построен с помощью совершенных геометрических форм:

Рис. 3 - Таинство Тайной вечери Сальвадора Дали

«Как Бог породил небесную добродетель, пятую сущность, и через нее создал четыре твердых тела - землю, воздух, воду и огонь, так и наша священная пропорция придала форму самому небу, придав ему форму додекаэдра - тверди из двенадцати пятиугольников, которую невозможно построить без нашей священной пропорции. Как описал престарелый Платон в своем "Тимее»^[1].

Священная пропорция", на которую ссылается Пачоли, - это золотое сечение (грани додекаэдра можно получить, расположив симметрично три взаимно ортогональных прямоугольника, имеющих золотое сечение как отношение длин сторон).

Благодаря своей работе о пяти правильных многогранниках, Платон известен как ранний ученый, предложивший атомную модель материи. На этом этапе следует упомянуть свойство сопряженности многогранников - дуальность. По сути, дуал многогранника получается путем замены граней многогранника на вершины и наоборот. Теоретически все многогранники имеют дуалы, но не все конечные многогранники. Двойники могут быть получены путем соединения геометрических центров граней, в результате чего внутри образуется новый многогранник. Эта операция проиллюстрирована ниже для тетраэдра, куба и икосаэдра:

Рис. 4 Двойники Платоновых твердых тел - пара тетраэдр-тетраэдр, пара куб-октаэдр, пара икосаэдр-додекаэдр

Дуал дуала многогранника - это он сам. Таким образом, дуальность - это сопряжение. Из рис. 4 видно, что дуалы платоновых твердых тел снова являются платоновыми твердыми телами. Тетраэдр является самодуальным, а пары куб-октаэдр и икосаэдр- додекаэдр являются дуалами друг друга. Многогранник в сочетании со своим дуалом образует составной многогранник. Соединения для платоновых твердых тел приведены на рис. 5.

Рис. 5 - Соединения для Платоновых твердых тел

Два дуала также могут быть получены друг из друга с помощью усечений и расширений. Правильные усечения (разрезание пирамид на каждой вершине) или расширения (сборка пирамид на каждой грани) дуальных многогранников дают один и тот же многогранник (рис. 6).

Рис. 6 – усечение и расширение

Рис. 7 - Тетраэдр к тетраэдру

Рис. 8 - Куб-октаэдр

Рис. 9 - Превращение додекаэдра в икосаэдр

Семь неплатоновских усеченных фигур, показанных на рис. 7-9, являются архимедовыми твердыми телами, а соответствующие двойники - каталонскими твердыми телами.

Платон не привел доказательства того, что существует только пять правильных многогранников. На самом деле, он даже не указал формально, каким свойствам должен удовлетворять правильный многогранник.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Платоновы тела – трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Грань многогранника – это некоторый многоугольник (многоугольником называется ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из конечного числа отрезков). Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней – вершинами многогранника. К элементам многогранника, кроме его вершин, ребер и граней, относятся также плоские углы его граней и двугранные углы при его ребрах. Двугранный угол при ребре многогранника определяется его гранями, подходящими к этому ребру.

Многогранник называется правильным, если:

• во-первых, он выпуклый;
• во-вторых, все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
• в-третьих, в каждой его вершине сходятся одинаковое число граней, и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

Существует пять выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида (древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике). Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней.

Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" – четыре, "эдрон" – грань.

Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" – шесть;

октаэдр – восьмигранник, "окто" – восемь;

додекаэдр – двенадцатигранник,

"додека" – двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней,

"икоси" – двадцать.

Типы правильных многогранников:

1) Правильный тетраэдр – составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольник. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800 (рисунок 1).

Рисунок 10 - Правильный тетраэдр

2) Куб (гексаэдр) - параллелепипед, все грани которого – квадраты. Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700 (рис. 11).

Рисунок 11 - Куб

3) Правильный октаэдр или просто октаэдр – многогранник, у которого восемь правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по четыре грани. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2400. Его можно построить, сложив основаниями две пирамиды, в основании которых квадраты, а боковые грани – правильные треугольники.

Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба, если же соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба. Говорят, что куб и октаэдр двойственны друг другу (рис. 12).

Рисунок 12 - Правильный октаэдр

4) Икосаэдр – составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3000 (рисунок 13).

Рис. 13 – Икосаэдр

5) Додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240 (рисунок 5). Рисунок 5. Додекаэдр

Глава 3. Связь геометрии и природы

В природной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).

Форма тетраэдра передается сульфатом натрия сурьмы.

Рис. 14 - сульфат натрия сурьмы

Даже необработанный алмаз четко передает форму октаэдра. После шлифовки камень точно соответствует геометрической форме октаэдра.

Рис. 15 - необработанный алмаз

Структура молекулы перовскита, химическая формула CaTiO3, в точности соответствует правильному многограннику.

Рис. 16 – первоксит

Шпинель. Камень получил свое название от латинского «Spinella» — небольшой шип.

Рис. 17 – Шпинель

Рис.18 - Куб - монокристалл объединяет кристаллы соли NaCl

Рис. 19 - Кристалл пирита (пирит FeS)

Кристалл пирита (пирит FeS) имеет форму додекаэдра. Пирит (от греч. «пир» — огонь) — сернистое железо или колчеданная сера, наиболее распространенный минерал из группы сульфидов. Размер кристаллов пирита достигает нескольких сантиметров.

Рис. 20 - Бор

Бор – имеет форму икосаэдра.

В микромире многогранники встречаются у молекул, вирусов и бактерий — простейших организмов.

Например, фуллерены — сферические молекулы углерода С ₆₀ (рис. 21) — «кирпичики» наноэлектроники и сверхпроводников.

Рис. 21 - сферические молекулы углерода С ₆₀

Элементарная ячейка воды представляет собой тетраэдры, содержащие пять молекул Н2О, соединенных водородными связями. При этом каждая из молекул воды в простых тетраэдрах сохраняет способность к образованию водородных связей. Их простые тетраэдры могут соединяться вершинами, ребрами или гранями, образуя различные пространственные структуры. Гексагональная (гексагональная) структура – ​​это когда шесть молекул воды (тетраэдров) объединены в кольцо всех различных структур в природе. Этот тип структуры характерен для льда, снега и талой воды^[2].

Тетраэдрическая форма также имеет молекулы метана (CH ₄) и молекулу аммиака (NH ₃).

Рис. 22 - метан

В природе существуют объекты с симметрией икосаэдра, например, вирусы. Исключительность икосаэдра не была случайной. Все дело в сохранении - сохранении генетической информации. Вы можете спросить: почему это обязательно правильный многогранник? А почему именно икосаэдр?

Вирусная частица должна перевернуть весь метаболизм клетки-хозяина с ног на голову; он должен заставить инфицированную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но его количество ограничено. Поэтому для кодирования собственных мембранных белков в нуклеиновой кислоте вируса остается очень мало места. Что делает вирус? Он просто многократно использует один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого количества стандартных молекул — строительных белков, которые объединяются в процессе автоматизации вирусной частицы.

Результатом является максимальное сохранение генетической информации. По законам математики остается добавить, что для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов необходимо сложить из них икосаэдр, что мы и наблюдаем у вирусов.

Вирусы решают сложнейшую задачу (ее называют «изопиранной»): нахождение наименьшего поверхностного тела для заданного объема и состоящего из одинаковых и простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор непонятно - отнести их к живой или неживой природе - эти самые вирусы справились с геометрической задачей, которая требуется людям более двух тысяч лет! Все так называемые «сферические вирусы», включая вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как считалось ранее.

Рис. 23 - Бактериофаги

Бактериофаги - вирусы бактерий уничтожают бактерии и другие микроорганизмы. Частицы состоят из шестиугольной или палочковидной головки диаметром 45–140 Нм, толщиной 10–40 и длиной 100–200 Нм. Бактериофаг прикрепляется своим отростком к бактериальной клетке и, выделяя фермент, растворяет клеточную стенку; затем содержимое ее головки через канадский отросток переходит в клетку, где под влиянием нуклеиновой кислоты фага прекращается синтез бактериальных белков.

Водоросли Volvox - одни из простейших многоклеточных организмов - представляют собой сферическую оболочку, состоящую в основном из семиугольных, шестиугольных и пятиугольных клеток.

Рис. 24 - Водоросли Volvox

В каждой «вершине» встречаются три ячейки. Некоторые экземпляры имеют как четырехугольные, так и восьмиугольные ячейки. Еще биологи заметили, что если нет таких «нестандартных» клеток (с числом меньше пяти и больше семи), то пятиугольных клеток всегда на двенадцать больше, чем семиугольных. Клеток может быть несколько сотен или даже тысяч.

Таблица 1 - Многогранники в повседневной жизни

Глава 4. Применение многогранников

Картография

Полиэдры часто используются при моделировании карты Земли. Лучшей моделью, созданной до сих пор, является карта Dymaxion Map Бакминстера Фуллера (1956). Карта представляет собой развернутый икосаэдр (рис. 25).

Рис. 25 - Карта димаксии Фуллера

Складывание и разворачивание многогранников - старая область исследований, однако систематические работы по этой теме появились недавно. Основные проблемы, которыми занимаются, - какие многогранники могут быть развернуты для построения многоугольников и как; какие многоугольники могут быть свернуты для построения многогранников и как; какие многогранники могут быть развернуты и перевернуты для формирования других многогранников и как. Задачи также расширяются до более высоких измерений. Много полезной информации и ссылок на другие сайты можно найти на странице Эрика Д. Демейна, посвященной складыванию и раскладыванию (рис. 26).

Рис. 26 Разворачивание куба для складывания вытянутой треугольной дипризмы

Недавно микробиологи обратились за помощью к математикам и инженерам- механикам по поводу механизмов движения вирусов. Уже было известно, что некоторые вирусы имеют полиэдральную внешнюю структуру (такие вирусы называют полиэдральными). Теперь ученые исследуют их движение с помощью твердотельных моделей.

Примеры расширяемых полиэдров (экспандоэдров, как они их называют), разработанные венгерской группой ученых, показаны на рис. 27-28.

Рис. 27 - Реалистичная модель движения вируса хлоротичной крапчатости коровьего гороха

Рис. 28 - Механическая модель движения вируса хлоротичной крапчатости коровьего гороха

Эрнё Рубик – венгерский скульптор и архитектор.

В 1974 году он изобрел очень популярную логическую игрушку под названием кубик Рубика или магический кубик.

Сначала изобретатель складывал его около месяца. Кубики Рубика - многогранники с цифрами, точками, печатями или печатями, или рисунками на гранях. Они были изобретены в древние времена. Их использовали в азартных играх и для гадания, используются в настольных играх.

Блоки Lego - модульные игрушки. Благодаря этим детским строительным блокам у детей развивается пространственное воображение. Из них можно создавать здания, транспортные средства,

людей и сценки из жизни жителей Лего-городка.

Многогранники широко используются в строительстве. Самая важная задача для строителей во время строительства порта является возведение защитных барьеров от волн. Специальным проектом является модуль под названием звездный блок, образованный четырьмя усеченными конусами, расположенными в соответствии с внутренними

осями тетраэдра.

Классический футбол состоит из 32 граней, среди которых мы видим 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Сетка, возникающая из них, является архимедовский усеченный икосаэдр. После того, как заполненная воздухом она имеет более сферическую форму (95% сферы)^[3].

Атомиум – модель железного кристалла. Построен по случаю Всемирной выставки в Брюсселе 1958. Состоит из 9 сфер, каждая диаметром 18 м, соединенных трубами, внутри которых внутри которых находится эскалатор. Увеличенная в 165 млрд. раз модель имеет высоту 103 м в высоту и весит 2400 т.

Многостенные конструкции на детских площадках - интересная и функциональная игровая площадка, адаптированная к потребностям детей и молодых людей.

Обнаружено широко распространенное пристрастие к многогранникам в ювелирных изделиях. Существует несколько способов полировки бриллианты. Одним из них является блеск - световое явление, при котором в котором появляется множество сверкающих отражений.

Кристаллография изучает рост, форму и геометрию кристаллов на основе химических свойств, и физические эксперименты, которые выявляют их атомную структура. Поэтому кристаллографы - большие любители многогранников.

В Париже — в городке науки и техники Ла Вилетт — есть интригующий Жеод (внутри него — 3D-кинотеатр). Издалека он выглядит как сфера, но на самом деле здание представляет собой многогранник с треугольными стенками.

Многочисленные упоминания о многогранниках можно увидеть в природе. Именно природа удовлетворяет наши эстетические чувства и позволяет нам наслаждаться красотой каждый день, такие как Гора Рорайма, Южная Америка Торрес-дель-Пайне в Чили.

Таким образом можно сделать вывод о том, что многогранники используются в строительстве, архитектуре, искусстве, присутствуют в молекулярных решетках атомов, в природном рельефе и это не окончательный список, так как многогранники можно найти в большинстве сфер деятельности человека.

Заключение

В ходе исследования были достигнуты следующие задачи:

• изучина историю и понятие многогранников;
• выявлены виды правильных многогранников и их свойства;
• определена проанализирована связь геометрии и природы;
• изучить особенности применения многогранников.

Исходя из этого можно сделать следующие выводы:

Многогранник — это трехмерная фигура, имеющая плоские грани, прямые ребра и острые вершины (углы). Слово «многогранник» происходит от греческого слова, где «поли» означает «много», а эдрон означает «поверхность».

Таким образом, когда много плоских поверхностей соединяются вместе, они образуют многогранник. Эти формы имеют имена в соответствии с их гранями, которые обычно представляют собой многоугольники. Наиболее распространенными названиями являются кубы, шестигранники.

Многогранники были в центре внимания многих людей с древних времен. Многогранники используются в строительстве, архитектуре, искусстве, картографии, кристаллографии, присутствуют в молекулярных решетках атомов, в природном рельефе и это не окончательный список, так как многогранники можно найти в большинстве сфер деятельности человека и в природе.

Таким образом это подтверждает выдвинутую нами гипотезу: многогранники окружают нас повсюду, люди используют многогранники ежедневно в повседневной жизни.

Как только многогранники будут мобилизованы, станут возможными расширяющиеся- сокращающиеся модели любого трехмерного объекта. В настоящее время при разработке таких моделей возникают проблемы, связанные с отсутствием эффективной геометрии элементов, трудностями приведения в действие, сбоями в работе из-за трения и нежелательных пар сил, выбором материала и т.д. Если удастся провести детальные исследования по решению этих проблем, практическая жизнь людей может претерпеть радикальные изменения.

Представьте себе, что при парковке автомобиль может быть уменьшен до одной трети своего первоначального размера. Или что автомобиль может быть отрегулирован по желанию как для одного человека, двух человек или четырех человек. Разве это не значительно облегчит движение транспорта?

Кроме того, если такие конструкции станут возможными, пространственные исследования принесут большую пользу. В космосе очень трудно строить, так как гравитация отсутствует или меньше, чем на Земле. Но если удастся создать контрактную структуру, то строительство в космосе станет ненужным.

Список использованных источников

1. Балахнина, У. Р. Использование технологии развития критического мышения на уроках геометрии при изучении темы "правильные многогранники" / У. Р. Балахнина, О. В. Бобыева // Управление качеством образования: от проектирования к практике: Материалы Всероссийской научно-практической конференции преподавателей школ и вузов, Ульяновск, 14–15 декабря 2017 года. – Ульяновск: УлГПУ имени И.Н. Ульянова, 2018. – С. 159-169.
2. Беседина, И. Г. Элективный курс "правильные многогранники и их изображение" / И. Г. Беседина // Современные технологии: актуальные вопросы, достижения и инновации: сборник статей XXII Международной научно-практической конференции, Пенза, 25 ноября 2018 года / Ответственный редактор Г.Ю. Гуляев. – Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение», 2018. – С. 11-13.
3. Волчков, С. С. Правильные многогранники в природе и их значение в жизни человека / С. С. Волчков // Сборник статей студенческих научно-практических конференций факультета агротехники и энергообеспечения кафедры инженерной графики и механики, Орел, 01 января – 01 2016 года. – Орел: Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина, 2016. – С. 93-102.
4. Зиза, К. Н. Геометрические реализации неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве / К. Н. Зиза, В. В. Штепин // ТРУДЫ МФТИ. Труды Московского физико-технического института (национального исследовательского университета). – 2016. – Т. 8. – № 4(32). – С. 18-34.
5. Корякин, С. Н. Правильные и полуправильные многогранники / С. Н. Корякин // Международная научно-техническая конференция молодых ученых БГТУ им. В.Г. Шухова, Белгород, 01–20 мая 2016 года / Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. – Белгород: Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова, 2016. – С. 2169-2173.
6. Малышева, К. Правильные и полуправильные многогранники / К. Малышева // Молодежь в мире науки: материалы IV внутривузовской студенческой научно-практической конференции, Сургут, 25 ноября 2016 года. – Сургут: Сургутский государственный педагогический университет, 2017. – С. 63-64.
7. Меркулова, А. М. Об экстремальных свойствах правильных многогранников / А. М. Меркулова // Аспирант и соискатель. – 2014. – № 5(83). – С. 39-42.
8. Сайфутдинов, Д. Р. Правильные многогранники вокруг нас / Д. Р. Сайфутдинов, А. В. Заречнев, С. В. Микова // Современные вопросы естествознания и экономики: сборник трудов Международной научно-практической конференции, Прокопьевск, 22 марта 2019 года / Ответственные ред.: Пушкина О. В. – Прокопьевск: изд-во филиала КузГТУ в г. Прокопьевске, 2019. – С. 242-244.
9. Семыкина, Ю. С. Правильные многогранники в природе, науке и архитекетуре / Ю. С. Семыкина // Международная научно-техническая конференция молодых ученых БГТУ им. В.Г. Шухова, Белгород, 01–30 мая 2015 года / Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. – Белгород: Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова, 2015. – С. 1515-1518.
10. Субботин, В. И. О многогранниках c ромбическими вершинами и правильными гранями / В. И. Субботин // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2020. – Т. 181. – С. 112-117.