Золотое сечение в музыке, астрономии и искусстве

Введение

Ещё с древних времён люди пытались найти «формулу красоты», которая объединяла бы прекрасное в различных объектах. В результате исследователи пришли к выводу, что для соединения двух частей с третьей необходима особая пропорция, позволяющая наиболее «красиво» объединить части в одно целое. В этом и заключается гармоничность объектов. И такая пропорция была найдена. Она обладает наиболее отчётливыми признаками гармонии и эстетики. Этой пропорцией является так называемое «Золотое сечение».

Тема «Золотого сечения» не только интересна, но и по-прежнему актуальна, ведь «Золотая пропорция» не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными примерами. Окружающий нас мир разнообразен. И многие обращали внимание на то, что мы по-разному относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность и бесформенность производят отталкивающее впечатление, а предметы и явления, которым свойственна целесообразность и гармония вызывают у нас чувство восхищения. Люди давно стали задумываться над вопросом, подчиняются ли такие вещи как красота и гармония каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые закономерности прекрасного.

Предметом исследования является закон золотого сечения, а объектом – музыка, астрономия, искусство.

Целью исследования является изучить особенности золотого сечения в музыке, искусстве, астрономии, это достигается путем решения следующих задач:

• изучить сущность принципа золотого сечения;
• проанализировать закон золотого сечения в искусстве и музыке;
• проанализировать закон золотого сечение во внешних особенностях человеческого тела;
• проанализировать закон золотого сечения в астрономии;
• проанализировать закон золотого сечения в современном мире.

Материалы и методы исследования. В качестве материалов исследования использовалась методическая литература, периодические издания, а также интернет-источники, использованы данные из официальных источников информации.

В ходе написания курсовой работы автор изучил фундаментальные научные исследования отечественных и зарубежных ученых по обозначенной теме.

Сущность принципа золотого сечения

Золотое сечение – это деление отрезка на две неравные части, осуществляемое таким образом, что отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Отношение золотой пропорции приблизительно равно 1,618.

Осознав принципы золотого сечения, мы сможем увидеть целесообразность и красоту как в природе, так и в творениях человека.

Деление отрезка в отношении золотого сечения показано на рисунке 1.

Рис. 1. Золотое сечение

С историей золотого сечения связан ряд чисел Леонардо Фибоначчи. Поясняя одну из задач (задачу о кроликах), которую он описал в своей книге, Фибоначчи выстроил следующий ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т.д. Особенностью данного ряда является то, что каждое последующее число (начиная с третьего) вычисляется как сумма двух предыдущих чисел. У этого ряда имеется много интересных свойств. Рассмотрим некоторые из них^[1].

Если поделить каждое число этого ряда на предыдущее, то полученный результат всё больше и больше будет стремиться к числу 1,618, т.е. полученные отношения будут колебаться около постоянной величины и постепенно приближаться к ней.

Если же поделить друг на друга числа этого ряда, расположенные не рядом, а через одно число, то их отношение стремится к квадрату золотого сечения.

Закон золотого сечения в искусстве

Применение золотой пропорции многогранно. Золотая пропорция изначально присутствует в окружающем нас мире и используется в архитектуре, музыке, живописи, во всём, что содержит в себе гармонию, красоту и прочность.

Яркий пример золотого сечения в архитектуре – это Парфенон. Пропорция золотого сечения в Парфеноне встречается неоднократно. Например:

‒ протяжённость холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя находятся в отношении золотой пропорции;

‒ ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов, высота 61,8;

‒ высота трёх ступеней основания и колонны 38,2;

‒ высота перекрытия и фронтона 23,6 футов.

Все перечисленные размеры образуют ряд золотой пропорции (см. рис. 2).

Рис. 2. Парфенон

Если выбрать подходящие объекты природы и произвести у них измерения, то мы также, практически наверняка, получим отношение золотой пропорции. Например, если рассмотреть расположение листьев на растениях, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. У многих животных и насекомых соотношение размеров грудной и брюшной части тела соотносятся в отношении золотой пропорции. Даже у обычной ящерицы соотношение длины хвоста и длины тела находится в золотой пропорции (рис. 3)^[2].

Рис. 3. Золотое сечение в теле ящерицы

Еще одним проявлением золотой пропорции является так называемая «Логарифмическая спираль» (рис. 4).

Рис. 4. Логарифмическая спираль

Для логарифмической спирали также характерно отношение золотого сечения. Именно по данной спирали закручиваются циклоны и антициклоны, рукава галактик, происходит рост тканей в стволах деревьев, закручиваются усики растений, располагаются семечки в подсолнухе и т.д. (рис. 5).

Говоря о семенах подсолнечника, известно, что они, прорастая из центра, растут к его внешней стороне, заполняя головку семени. Обычно они спиралевидные и имеют сходство с золотой спиралью. Заметим, что количество семян, как правило, сводится к числам Фибоначчи^[3].

Рис. 5. Логарифмическая спираль в окружающем мире

Принцип золотого сечения широко используется и в искусстве (живопись, музыка и т.д.). Например, в картине И.И. Шишкина «Корабельная роща» основой золотой пропорции является сосна (рис. 6).

Рис. 6. И.И. Шишкин «Корабельная роща»

Сосна, стоящая на первом плане, делит картину в соотношении золотого сечения по горизонтали. При этом, справа от «знаковой сосны» изображен пригорок, который делит картину золотым сечением по вертикали. А слева от «знаковой сосны» находится множество сосен меньшего размера, которые продолжают деление левой части картины (во всё большем уменьшении) также в соответствии с принципом золотого сечением по горизонтали. Наличие в данной картине И.И. Шишкина вертикальных и горизонтальных делений золотым сечением придаёт ей полную гармоничность и выводит ее в разряд мировых шедевров живописи^[4].

На золотое сечение обратили внимание знаменитые деятели искусства, которые окрестили его божественной пропорцией и вскоре начали использовать в произведениях для получения идеальной композиции, и нахождения наилучшего сочетания всех элементов:

• размеры царской усыпальницы Великой Пирамиды в Египте основаны на золотой пропорции;
• считается, что размерные соотношения высоты, ширины колонн, расстояние между столбами и размер портика Парфенона в Греции близки к золотому сечению;
• красота ―Моны Лизы, Леонардо Да Винчи также может быть связана с тем, что ее лицо и тело представляют собой золотое сечение.

Рис. 7. Божественная пропорция на картинах Леонардо да Винчи

Возможно, вы уже знаете, что именно Леонардо да Винчи наглядно продемонстрировал связь золотого сечения и пропорций тела. Сделал он это в своем чернильном рисунке «Витрувианский человек», где была отражена гармония и соразмерность частей тела относительно друг друга.

Рис. 8. Золотое сечение на примерах «Витрувианского человека» и «Тайной вечери» Леонардо да Винчи

Современник да Винчи и один из известнейших мастеров изобразительного жанра Боттичелли тоже использовал принцип пропорции при написании своих шедевров. Как думаете, была бы его Венера так совершенна, если бы не «Божественная пропорция»?

Рис. 9. Правило золотого сечения в картине «Рождение Венеры» Сандро Боттичелли

Известные картины на религиозную тематику во многом обязаны золотой пропорции величественным и умиротворяющим впечатлением, которое производят. В качестве примеров хотелось бы вспомнить «Сикстинскую Мадонну» Рафаэля и «Святое семейство» Микеланджело.

Рис. 10. Микеланджело «Святое семейство», Рафаэль Санти «Сикстинская мадонна»

Золотое сечение в живописи характерно и для знаменитых работ русских художников. Его можно увидеть в произведениях самых разных жанров, от портретов до пейзажей.

Рис. 11. Золотое сечение в картинах Андрея Рублева «Троица» и Александра Иванова «Явление Христа народу»

Гармоничность всегда будет востребованной визуальной характеристикой для всех объектов творчества: картин, фотографий, проектов интерьера, рекламных макетов и даже в дизайне потребительских товаров. «Божественная пропорция», золотое сечение, проявление структурного совершенства – названий много, и все они достаточно точно описывают восхищение красотой и формулой, которая позволяет ее создать.

Закон золотого сечения в музыке

Как было отмечено выше, принцип золотого сечения используется и в музыке. Влияние музыки бывает разным: позитивным, нейтральным, негативным. Это зависит от законов золотого сечения. Так, в произведениях гениального Моцарта, Баха, Шопена и других известных композиторов – кульминация располагается не в центральной части произведения, а несколько смещена к его окончанию. Обычно, такое смещение составляет отношение начальной и последующей частей произведения как 62:38. Это практически точная точка золотой пропорции^[5].

Многие исследования были посвящены использованию золотой пропорции в визуальных видах искусства. Первые попытки осознать и выявить этот феномен в музыке наметились совсем недавно, в прошлом веке. Так, в исследованиях, посвященных музыке Моцарта и Бетховена, «закон золотого сечения» Д. Уэбстер указывал на формальную основу многих сонатных аллегро первых частей фортепианных сонат и струнных квартетов этих композиторов, а также симфоний Бетховена и Брамса. В 1950 году музыковед Дуглас Уэбстер рассматривает закон золотого сечения в архитектуре, в природе, в поэзии, и даже в пение птиц. Также он приводит многочисленные примеры его применения в музыке, начиная от 48 прелюдий Баха из «ХТК» и заканчивая произведениями многих композиторов XIX и XX веков, включая Шенберга и Бартока. Дуглас Уэбстер приходит к выводу, что божественная пропорция «скорее всего выражалась музыкантами инстинктивно». Так, например, Иоганн Себастьян Бах в своей трехголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются благодаря фермате в такте 34). Другой пример — финал Девятой симфонии Бетховена (равен всем остальным частям вместе взятым)^[6].

Самые близкие к золотой пропорции произведения – это произведения таких классиков, как: Иоганн Себастьян Бах, Пётр Ильич Чайковский, Людвиг ван Бетховен.

Остаётся только удивляться, каким седьмым чувством могли это почувствовать гениальные композиторы, не являющиеся математиками. Это остаётся загадкой.

Закон золотого сечения в астрономии

Главным пунктом своего учения Пифагор считал понятие “всемирной симпатии”, т.е. гармонии всего существующего. Он одним из первых использовал термин “космос” (от греч. cosmeo — украшаю), т.е. упорядоченный, гармоничный мир, противопоставляя его хаосу, беспорядочному началу бытия, с которого, по мнению греков, и началось созидание богами Мироздания.

Именно поэтому Пифагор и пифагорейцы всюду и во всем искали лад, порядок, начиная с музыки и кончая движением небесных светил. Все явления природы они оценивали с позиций, что “принципы математики являются принципами всего сущего”. Учение Пифагора до сих пор служит источником плодотворных идей в естествознании.

Пифагорейцы считали, что небесные светила расположены на концентрических сферах, имеющих своим общим центром Землю. Расстояния между сферами соответствует определенным музыкальным интервалам. При вращении сфер каждая из них издает свой тон, и в результате сложения тонов получается гармоническая мелодия — “музыка небесных сфер”, услышать которую могут только избранные.

Пулковский астроном К.Н. Бутусов в серии обстоятельных работ решил проверить, в чем правы и в чем ошибались пифагорейцы. Оказалось, что соотношение периодов соседних планет равно числу Ф или Ф2. Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным числу Ф, т.е. спектр, построенный на основе золотого сечения. Расположение перигелиев и афелиев планет по логарифмическим спиралям также связано с гармоническим числом Ф.

Не воспринимаемая нашим ухом “музыка небесных сфер” таит в себе глубокий физический смысл. Когда формировалась Солнечная система, в газопылевом облаке, окружающем Солнце, возникали акустические волны, создаваемые Солнцем и зарождающимися планетами. Для устойчивости планетных орбит должны выполняться условия стационарности, которые осуществляются при резонансе акустических- волн с периодом, равном периоду обращения планеты. Почему же число Ф так распространено в Солнечной системе? Эту загадку еще предстоит решить будущему, а прикладные исследования золотого сечения для описания форм планет, их орбит, спиральных галактик очень плодотворны.

Знаменитый философ и ученый Аристотель (384 – 322 гг. до н.э.) на основе достижений всей греческой науки создал единую систему устройства Вселенной на основе геометрической модели мира, сформировал детально разработанное мировоззрение. Превратил сведения о видимых небесных явлениях и движениях светил в стройную теорию – систему мира. Система мира по Аристотелю основывалась на четырех принципах, являвшихся синтезом всей греческой науки.

1. Небесный свод (сфера неподвижных звезд) – опора для звезд и граница между небом и землей. Он за сутки делает полный оборот вокруг оси, соединяющей северный полюс неба с южным. Ось вращения пересекается с небесной сферой в двух неподвижных точках – полюсах мира. Небеса идеальны во всех отношениях, они сами и их опоры состоят из вечной материи – эфира. Эфир – самый легкий элемент, который лежит на границе между материальным и нематериальным. Эфир не может превращаться в другие элементы, он не может ни возникать, ни уничтожаться. Для небесных тел существует вечное движение, которое недоступно ничему живому. Небо не могло возникнуть, мир существует вечно. Принцип сохранился до Коперника^[7].

2. Одухотворенность небесных тел: звезды и все другие небесные тела обладают душой, приводящей их в вечное движение.

3. Принцип небесного совершенства: «… космос как единое целое, составленное из целостных же частей, совершенное и непричастное дряхлению и недугам. Затем Бог путем вращения округлил космос до состояния сферы, поверхность которой всюду равно отстоит от центра…».

Все небесные тела и Земля шарообразны. Шар и сфера – идеальные геометрические фигуры. Шар при вращении вокруг собственной оси всегда занимает одну и ту же часть пространства. Сфера – геометрическое тело, все точки поверхности которой равноудалены от центра. Концепция шарообразной формы тел во Вселенной и самой Вселенной вошла в основу всех последующих конструкций Вселенной. В небесах реализуется только совершенное движение: совершенное движение – это вечное, равномерное круговое движение.

4. Музыка сфер: в основе небесных явлений лежат математические закономерности. Существование восьми небесных сфер и такого же числа тонов музыкальной гаммы подтверждали это. Каждая сфера поет свою ноту, и восемь нот сливаются в гармонию – музыку неба. Все принципы подчинены главной концепции древних греков: миром правит гармония. Примером небесной гармонии являются Платоновы тела. Существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных выпуклых многогранника были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике Платоновыми телами. Все грани многогранников – одинаковые правильные многоугольники, все многогранные углы равны.

С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем).

Рис. 10. Платоновы тела: тетраэдр (Огонь), гексаэдр или куб (Земля), октаэдр (Воздух), икосаэдр (Вода), додекаэдр (Вселенная)

И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников – додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира. В этой фигуре запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому ему отводилась главная роль в небесном мире. У пифагорейцев понятие «гармония» носит числовой, математический характер. Гармония объективна, она существует независимо от нашего сознания и выражается в гармоничном устройстве всего сущего, начиная с космоса и заканчивая микромиром. Гармония должна стать предметом математического исследования^[8].

Закон золотого сечения в современном мире

Даже по сей день золотое сечение не остаѐтся без внимания и широко применяется в искусстве.

Например, при создании немого художественного фильма «Броненосец Потѐмкин» кинорежиссер Сергей Эйзенштейн согласовывал сценарий с правилом золотого сечения, разделяя видеоленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивалось на корабле, а в последних двух — в Одессе. Переход на городские сцены и является золотой серединой фильма^[9].

Более современным подходом к применению принципа золотого сечения являются логотипы довольно популярных брендов: Apple, Toyota, Mastercard, Twitter, Pepsi и т.д.

При разработке дизайна своего логотипа Apple использовали круги из чисел Фибоначчи, соединив и обрезав формы. Однако, в результате был спроектирован удачный и визуально изящный дизайн логотипа. Но до сих пор неизвестно, это получилось спонтанно или всѐ-таки так и было задумано (рис. 11).

Рис. 11. Логотип Apple

Логотип Toyota также использует это известное соотношение a и b, формируя сетку с образованием трѐх колец. Здесь используются не круги, а уже прямоугольники для воспроизведения золотого сечения (рис. 12).

Рис. 12. Логотип Toyota

Таким образом, пропорции золотого сечения естественным образом проявляются в развитии живых организмов – ему подчинено строение растений, пропорции раковин моллюсков и т.д. Также человечество старается применить золотое сечение в искусстве, кинематографе, архитектуре. Можно сказать, что золотое сечение соблюдены не только в тех направлениях, которые прозвучали ранее, но и в создании определенных логотипов и даже расстановок мебели. Тем самым можно заметить, что человечество соблюдает золотое сечение везде практически. При этом человечество во всем стремится к соблюдению пропорции золотого сечения.

Заключение

Принцип «Золотого сечения» – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Во-первых, «Золотое сечение» – это один из основных основополагающих принципов природы; во-вторых, человеческое представление о красивом сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит из двух частей: живая и неживая природа. Для творений неживой природы характерна слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора. Мир неживой природы – это, прежде всего, мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы предстает перед нами совсем иным – подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Мир природы – это, прежде всего, мир гармонии, в которой действует «закон Золотого сечения». Идея единства, основанная на проявлении одних и тех же закономерностей в разнородных явлениях природы, сохранила свою актуальность от Пифагора до наших дней.

Принципы «Золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения. Гениальный ученый Иоганн Кеплер поставил пропорцию «Золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Пропорции золотого сечения естественным образом проявляются в развитии живых организмов – ему подчинено строение растений, пропорции раковин моллюсков и т.д. Также человечество старается применить золотое сечение в искусстве, кинематографе, архитектуре. Можно сказать, что золотое сечение соблюдены не только в тех направлениях, которые прозвучали ранее, но и в создании определенных логотипов и даже расстановок мебели. Тем самым можно заметить, что человечество соблюдает золотое сечение везде практически. При этом человечество во всем стремится к соблюдению пропорции золотого сечения.

Список использованных источников

1. Алифов, А. А. Фундаментальный принцип, управляющий Вселенной / А. А. Алифов. – Москва; Ижевск : Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2012. – 408 с.
2. Бондаренко, Ю. Г. Учение ПИ, или "золотое отношение" природного интеллекта// Международный журнал. Устойчивое развитие: наука и практика. – 2017. – № 1(18). – С. 80-485.
3. Варламов, А. А. Золотое сечение и распределение энергии во времени (почему нам нравится золотое сечение) / А. А. Варламов // Архитектура. Строительство. Образование. – 2014. – № 1(3). – С. 33-41.
4. Гамова, Н. А. Проявление золотого сечения// Тенденции развития науки и образования. – 2021. – № 74-8. – С. 66-70.
5. Данекин, Е. А. Тайны «золотого сечения»// Актуальные направления преподавания естественных дисциплин в военном высшем учебном заведении : Сборник трудов Международной научно-практической конференции (с очным участием), Пермь, 20 апреля 2020 года / Под общей редакцией С.Г. Карнишина. – Пермь: Федеральное государственное казенное военное образовательное учреждение высшего образования «Пермский военный институт войск национальной гвардии Российской Федерации», 2020. – С. 54-60.
6. Капусто, А. В. Золотое сечение. От спирали Архимеда до музыки// В сборнике: ДНИ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУКИ. Сборник докладов научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ студентов института строительства и архитектуры. Министерство образования и науки Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. 2018. С. 316-318.
7. Кузнецов, А. С. Закон золотого сечения в музыке// Диалоги о культуре и искусстве: материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (с международным участием), Пермь, 18–20 октября 2018 года. – Пермь: Пермский государственный институт культуры, 2019. – С. 116-121.
8. Сорокина, А. А. Золотое сечение// В сборнике: Новое слово в науке: стратегии развития. сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»; Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова; Кыргызский экономический университет им. М. Рыскулбекова. Чебоксары, 2020. С. 13-21.
9. Сучилкин, В. В. Учение о гармонии чисел. От античности до наших дней// Академическая наука - проблемы и достижения : материалы XVII международной научно-практической конференции, North Charleston, 15–16 октября 2018 года. – North Charleston: CreateSpace, 2018. – С. 118-124.
10. Подолянюк, А. А. Симметрия и пропорции золотого сечения в регуляторном саду / А. А. Подолянюк, Н. В. Бирюкова // Актуальные вопросы науки и хозяйства: новые вызовы и решения : Сборник материалов LV Студенческой научно-практической конференции, Тюмень, 17–19 марта 2021 года. – Тюмень: Государственный аграрный университет Северного Зауралья, 2021. – С. 320-324.
11. Пьянкова, В. В. Использование "золотого сечения" в веб-дизайне// В сборнике: Направления модернизации современного инновационного общества: экономика, социология, философия, политика, право. материалы Международной научно-практической конференции: в 3 частях. Ответственные редакторы: Н.Н. Понарина, С.С. Чернов. 2015. С. 8-11.
12. Трубецков, Д. И. Две лекции о двух путях истории симметрии// Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. – 2013. – Т. 21. – № 4. – С. 9-42.
13. Фесечко, А. И. Метод золотого сечения в астромедицине// Труды международного симпозиума "Надежность и качество". – 2007. – Т. 2. – С. 156-159.